\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{style_perso}
\usepackage{multicol}

\renewcommand{\module}{CI 2}
\renewcommand{\titredoc}{Modélisation de la géométrie des systèmes}

\begin{document}
	\premierepage
	
	\paragraph{Objectif:}L'objectif de ce cours est de mettre en place les \textbf{outils de modélisation} permettant une \textbf{analyse cinématique} (statique, dynamique …) des \textbf{mécanismes}.
	Il permettra aussi de décrire la géométrie des différents système et trouver des relations entre les paramètres d'entrée et de sortie
	
		\section{Solides indéformables}
	
	Dans le cadre de l'étude mécaniques des systèmes, nous étudierons exclusivement des solides indéformables (sauf cas explicitement contraire). Il est indispensable de bien définir cette notion
	
	\paragraph{Solide :} Un solide est un ensemble de points matériels composants un système matériel.
	
	\paragraph{Solide indéformable :} Un solide S est dit indéformable si, quelque soit le mouvement qu'il effectue, on peut prendre n'importe quels points matériels A et B et que : 
	$$ \forall A, B \in S, \forall t\hspace*{0.5cm} ||\overrightarrow{AB}||(t) = constante$$
	
	(ce qui signifie que la distance entre les points A et B ne varie pas en fonction du temps).
	
	\section{Repère et référentiel}
	
	Pour définir la position d'un point dans l'espace on utilise des repères et ,pour les études cinématiques et dynamiques,
	des référentiels. On travaillera dans des espaces en trois dimensions mais malheureusement, ce cours étant en 2D les figures se feront en 2D mais illustreront au mieux les différents éléments.
	
	\subsection{Vecteur} 
	
	\subsubsection{Définition}
	
	Un vecteur est un outil mathématique permettant de représenter de nombreuses quantités mécaniques entre autres. Il se représente par une flèche:
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=6cm]{images/def_vec.png}
			\caption{Exemple d'un vecteur $\overrightarrow{u}$}
		\end{center}
	\end{figure}
	On définit un vecteur par 3 caractéristiques:
	\begin{itemize}
		\item Sa direction : une droite de l'espace qui portera le vecteur.
		\item Son sens : On choisit un des deux cotés de la droite.
		\item Sa norme : La "longueur du vecteur" il représente la valeur de la grandeur représentée.
	\end{itemize}
	
	%%%%%%%% Faire figure de la construction d'un vecteur
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=4cm]{images/dir_vec.png}
			\includegraphics[width=4cm]{images/sens_vec.png}
			\includegraphics[width=4cm]{images/norme_vec.png}
			\caption{Création d'un vecteur (direction, sens, norme)}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	
	Il est aussi possible de définir un vecteur entre deux points, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur partant du point A et arrivant sur le point B
	
	\subsubsection{Opération mathématique}
	
	Le vrai intérêt des vecteurs se situe dans les équations mathématiques que nous pouvons en tirer, il est nécessaire pour cela de voir quelques opérations mathématiques possibles.
	
	\paragraph{Somme :}
	On peut additionner des vecteurs en mettant bout à bout les vecteurs et en partant du début du premier et en arrivant au bout du dernier.
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/somme_vec.png}
			\caption{Somme de deux vecteurs}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	\paragraph{Multiplication par un réel :}
	On peut multiplier un vecteur par un réel, pour cela on multiplie sa norme par le réel.
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/mult_vec.png}
			\caption{Multiplication d'un vecteur par un réel positif}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	Dans le cadre d'un réel négatif on inverse aussi le sens du vecteur.
	
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/mult2_vec.png}
			\caption{Multiplication d'un vecteur par un réel négatif}
		\end{center}
	\end{figure}
	\paragraph{Relation de Chasles}
	
	La relation de Chasles ne fonctionne que pour les vecteurs définit entre deux points. On peut alors écrire :
	$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $$ 
	
	Attention : il faut bien vérifier que le point d'arrivé du premier vecteur et de départ du second vecteur sont les mêmes.
	
	\subsection{Repères}
	
	On place des repères afin de définir les vecteurs et les positions.
	
	Grâce aux propriétés de somme et de multiplication des vecteurs, il est possible de définir des vecteurs de bases (très souvent $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ et $\overrightarrow{z}$). Ainsi un vecteur $\overrightarrow{u}$ peut se définir comme un réel fois le vecteur $\overrightarrow{x}$ plus un réel fois le vecteur $\overrightarrow{y}$... On appelle \textbf{base} le duo ou trio de vecteurs permettant de définir le vecteur $\overrightarrow{u}$ et \textbf{coordonnées} les réels multipliant les vecteurs.
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/repere_ex.png}
			\caption{Exemple d'une base: $\overrightarrow{u} = 4.\overrightarrow{x} + 2.\overrightarrow{y}$}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	Les vecteurs n'étant pas localisés, on peut définir un point d'origine pour définir des positions. On note le repère R composé de la base contenant les vecteurs $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ et $\overrightarrow{z}$ et avec le point O pour origine : R(O,$\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$)
	
	Un vecteur $\overrightarrow{u}$ peut s'écrire de deux façons différentes dans le repère R:
	
	\begin{itemize}
		\item 	Écrire le vecteur en ligne:
		$$\overrightarrow{u} = a.\overrightarrow{x} + b.\overrightarrow{y} + c.\overrightarrow{z} $$
		\item  Écrire le vecteur en colonne: 
		$$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}_R $$
	\end{itemize}
	Il est important de préciser le repère utilisé car nous utiliserons de nombreux repères en même temps.
	
	\paragraph{Exemple :} Le vecteur $\overrightarrow{u}$ de la figure 6 s'écrit: 
	$$ \overrightarrow{u} = 4.\overrightarrow{x} + 2.\overrightarrow{y} = \begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}_R$$
	\\
	Les opérations mathématiques se font de manière simples, les sommes se font lignes par lignes. La multiplication par un réel se fait de la même façon.
	\\
	La position d'un point A est alors définit par le vecteur $\overrightarrow{OA}$ et permet de placer les différent points.
	
	\subsubsection{Pour la mécanique}
	Pour les études de cette année en mécanique, tout nos repères seront dit orthonormés directs. Cela veut dire que nos vecteur de bases sont perpendiculaire entre eux (ortho), de longueur 1 (sans unité, ils sont normés) et dans un sens précis (direct)
	
	\subsection{Référentiel}
	
	Un référentiel est un repère associé à une mesure temporelle. Par défaut on se placera dans un référentiel lié à la terre. Cette mesure temporelle ne sera pas importante pour ce cours mais sera utilisée pour définir la vitesse et l'accélération dans les prochains centres d'intérêts.
	
	\section{Mouvement possible et écriture de torseur cinématique}
	\subsection{Mise en évidence des mouvements possibles}
	L'objectif de ce cours est d'étudier les mouvements possibles des solides, pour cela regardons un exemple simple en 2D avec 2 points:
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=10cm]{images/patate.png}
			\caption{Patatoïde avec 2 point A et B et un repère}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	Les mouvement de chacun des points peut se décomposer comme un mouvement sur la direction $\overrightarrow{x}$ et un mouvement $\overrightarrow{y}$.
	Regardons les mouvements possibles sur $\overrightarrow{x}$:
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/patate_x1.png}
			\includegraphics[width=8cm]{images/patate_x2.png}
			\caption{Mouvement des points A et B sur l'axe X, dans le même sens puis dans des sens contraire}
		\end{center}
	\end{figure}
	Le premier cas montre une translation sur $\overrightarrow{x}$, le mouvement est possible. Le second cas montre une élongation du solide, nous travaillons avec des solides indéformables et donc il est impossible de réaliser ce mouvement.
	\newpage
	Regardons les mouvements possibles sur $\overrightarrow{y}$:
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/patate_y1.png}
			\includegraphics[width=8cm]{images/patate_y2.png}
			\caption{Mouvement des points A et B sur l'axe Y, dans le même sens puis dans des sens contraire}
		\end{center}
	\end{figure}
	Le premier cas montre une translation sur $\overrightarrow{y}$, le mouvement est possible. Le second cas montre une rotation du solide. 
	
	En conclusion, les mouvements possibles des solides indéformables sont les translations (sur chacun des trois axes) et les rotations autour des trois axes (le cas 2D ne permet d'illustrer que la rotation autour de l'axe $\overrightarrow{z}$).
	
	\subsection{Généralités sur les torseurs}
	
	Les mouvements sont représentés dans un outil mathématique nommé \textbf{torseur}. Un torseur est un outil de représentation des champs vectoriels, nous en croiserons de 4 types cette année.
	
	Un torseur s'écrit de la façon suivante:
	
	$$ \tV{i}{j} = \tLigne{\overrightarrow{R}}{\overrightarrow{M_D}}{D}$$
	
	\begin{itemize}
		\item $\tV{i}{j}$ représente le type de torseur (ici il s'agit du torseur représentant le champs de vitesse entre les solides i et j)
		\item D est le point d'écriture ou point de réduction du torseur, un torseur est une représentation localisée d'un champs de vecteur: sur un vinyle le centre et un point de l'extérieur ne vont pas à la même vitesse mais appartiennent au même champs de vitesses.
		\item $\overrightarrow{R}$ est la \textbf{résultante} du torseur, il s'agit d'une quantité vectorielle qui ne dépend pas du point d'écriture.
		\item $\overrightarrow{M_D}$ est le \textbf{moment au point D} du torseur, c'est une quantité vectorielle qui dépend du point d'écriture du torseur. 
	\end{itemize}
	
	On doit retrouver ces attributs dans tout les torseurs écrits cette année. ({\color{red} \textbf{Notamment le point d'écriture: "Un torseur sans point c'est une question qui ne vaut pas de point"}})
	
	Il existe deux façons d'écrire un torseur, l'écriture déjà décrite est l'écriture dite "en ligne" du torseur. Il est possible d'écrire les deux vecteurs composants le torseur en colonne:
	
	$$ \tV{i}{j} = \tCol{R_x}{R_y}{R_z}{M_{D,x}}{ M_{D,y}}{M_{D,z}}{D}{R(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$$
		
	Les deux vecteurs sont écrits en colonne dans la même base R. Il est important de préciser la base d'écriture dans le cas de l'écriture en colonne du torseur. 
	
	\subsection{Torseur cinématique}
	
	Pour ce premier cours, le torseur cinématique nous servira à noter les mouvements possibles entre deux solides. La résultante représente les mouvements de rotation possible : une composante sur $\overrightarrow{x}$ dans la résultante montre que les solides peuvent tourner l'un par rapport à l'autre autour de l'axe $\overrightarrow{x}$. Le moment montre la vitesse de translation entre les solides, si une composante sur $\overrightarrow{x}$ est présente dans le moment alors \textbf{en ce point (celui d'écriture du torseur)} les solides peuvent translater sur la direction $\overrightarrow{x}$.
	
	Le torseur cinématique représente donc les mouvements entre deux solides (i et j) il se note :
	$$ \tV{i}{j}$$
	Et on le lit "les mouvement du solide i dans son mouvement par rapport au solide j"
	
	\section{Surface de contact entre les solides}
	
	On parle de contact entre solides dès lors qu'ils se touchent. Il est alors nécessaire de regarder les surfaces en contact afin de déterminer les mouvements possibles entre ces solides. On dénombre trois formes de surfaces en contact: les plans, les cylindres et les sphères (on peut trouver des surfaces plus complexes mais on se rapportera toujours à ces trois formes):
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=12cm]{images/contacts_elem.jpg}
			\caption{Tableau montrant les surfaces et les zones de contact.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	\section{Liaisons cinématiques}

Pour l'étude des différents mécanismes, il est nécessaire de modéliser les différents contacts en une représentation utilisable, on nomme la modélisation du contact entre deux solides "liaison entre les solides", chaque liaisons se définit par les surfaces de contacts et permet de déduire les mouvements autorisés (mais pas forcément réalisé)s entre les deux solides. Chaque type de liaison est associé à un torseur cinématique représentant les mouvements possibles, à une représentation schématique pour dessiner le système dans un schéma cinématique (nous y reviendrons) et si besoin, une localisation et une orientation.
\newpage
Les contacts vu précédemment permettent de définir six liaisons :
\begin{figure}[h!]
	
	\begin{center}
		\makebox[\textwidth][c]{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.15\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.15\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.2\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.25\paperwidth}|}
			\hline
			Nom de la liaison & Surfaces en contact & Torseur cinématique & Représentation schématique\\
			\hline
			Appui plan & Plan/Plan & \vphantom{$\tCol{0}{0}{\omega_z}{V_x}{V_y}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_appui_plan_z2.png}\\
			\hline
Linéaire rectiligne & Cylindre/Plan & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{0}{\omega_z}{V_x}{V_y}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_lineaire_rectiligne_z_x2.png}\\
			\hline
Pivot glissant & Cylindre/Cylindre (intérieur) & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{0}{0}{V_x}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_pivot_glissant_x2.png}\\
			\hline
Ponctuelle & Sphère/Plan & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{\omega_y}{\omega_z}{V_x}{V_y}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_sphere_plan_z2.png}\\
			\hline
Linéaire annulaire & Sphère/Cylindre (intérieur) & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{\omega_y}{\omega_z}{V_x}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_lineaire_annulaire_x2.png}\\
			\hline
Sphérique (Rotule) & Sphère/Sphère (intérieur) & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{\omega_y}{\omega_z}{0}{0}{0	}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_rotule2.png}\\
\hline
			
		\end{tabular}}
	\end{center}
\caption{Tableau des liaisons élémentaires}
\end{figure}

	\newpage
Néanmoins, certaines associations de surfaces en contacts sont aussi normalisées car extrêmement courantes, on définit alors les cinq autres liaisons:

\begin{figure}[h!]
	
	\begin{center}
		\makebox[\textwidth][c]{\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.15\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.15\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.2\paperwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.25\paperwidth}|}
				\hline
				Nom de la liaison & Surfaces en contact & Torseur cinématique & Représentation schématique\\
				\hline
				Encastrement & 3 contacts Plan/Plan orthogonaux& \vphantom{$\tCol{0}{0}{0}{0}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_encastrement.png}\\
				\hline
				Pivot & Cylindre/Cylindre (interieur) + 1 contact Plan/Plan orthogonal à l'axe du cylindre & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{0}{0}{0}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Pivot_x.png}\\
				\hline
				Glissière & 2 Contacts Plan/Plan non parallèle & \vphantom{$\tCol{0}{0}{0}{V_x}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_glissiere_x2.png}\\
				\hline
				Hélicoïdale & Nombreux contacts ponctuels le long d'une hélice & \vphantom{$\tCol{\omega_x^*}{0}{0}{V_x^*}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$ avec:$V_x = \frac{\omega_x.pas}{2.\pi}$ }& \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_helicoidale_x2.png}\\
				\hline
				Sphérique à doigt & Sphère/Sphère (intérieur) + 1 contact Plan/Plan dans un plan contenant le centre de rotation & \vphantom{$\tCol{\omega_x}{0}{\omega_z}{0}{0}{0}{M}{(\ve{x},\ve{y},\ve{z})}$} & \rule{0pt}{2.5cm}\includegraphics[height=2cm]{images/Liaison_rotule_a_doigt2.png}\\
				\hline
				
		\end{tabular}}
	\end{center}
	\caption{Tableau des liaisons composées.}
\end{figure}
	
		\section{Graphes de liaisons et schémas cinématiques}
	
	Une photo d'un système est rarement utile pour le modéliser, pour cela on utilise deux outils, le graphe de liaison et le schéma cinématique.
	
	\subsection{Graphe de liaisons}
	
	Pour représenter les contacts on commence par tracer un graphe représentant les classes d'équivalence cinématique et les liaisons entre elles. Une classe d'équivalence cinématique est un ensemble de solide en liaisons encastrement entre eux, on peut les considérer comme un seul gros solide.
	
	Un graphe de liaisons est un graphe dont les sommet (des ronds) sont les ensembles de solides et les arêtes (des arcs reliant les ronds) sont les liaisons.
	
	Voici un exemple:
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=8cm]{images/exemple_graphe.png}
			\caption{Exemple de graphe de liaison.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	\subsection{Schéma cinématique}
	
	Pour représenter la cinématique d'un système on peut représenter les liaisons en 2D ou en 3D à l'aide d'un schéma des liaisons dans l'espace.
	
	Voici un exemple :
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=4cm]{images/exemple_cin.png}
			\caption{Exemple de schéma cinématique.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	Pour cela on suit la méthode suivante:
	
	\begin{itemize}
		\item On place les points ou sont situés les liaisons.
		\item On place les dessins des liaisons bien orientés, on associe à chaque classe d'équivalence une couleur.
		\item On trace les solides en reliant les liaisons entre elles (en respectant les couleurs)
		\item On place le petit râteau sur le bâti, il s'agit de la pièce de référence considérée comme immobile.
	\end{itemize}
	
	\section{Repérage des solides et paramétrages}
	
	Pour définir la position des solides on colle à chacun un repère, de préférence en suivant la géométrie du solide. Pour repérer la position et l'orientation des solides les uns par rapports aux autres, on définit des paramètres variables permettant de placer les différents repères de solides entre eux. La position d'un solide se définit par le vecteur partant de l'origine du repère du solide de référence et arrivant à l'origine du repère du solide à paramétrer. Pour définir l'orientation du solide on utilise une figure géométrale, c'est une figure montrant la rotation entre deux repères.
	
	Pour faire une figure géométrale:
	
	\begin{itemize}
		\item On commence par trouver l'axe commun aux deux repères et on le trace venant vers nous
		\item On place les deux autres axes (en gardant à l'esprit que nos repères sont orthonormés direct et donc que x, y et z se suivent en lisant le sens direct)
		\item On place le second repère en gardant un petit angle de rotation (même si il est grand dans la réalité)
		\item On définit l'angle de rotation
	\end{itemize}
	
	Ce qui donne par exemple:
	\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
%		\parametrageAngulaire{\alpha}{\vx{0}}{\vy{0}}{\vz{0}=\vz{1}}{\vx1}{\vy1}
	\includegraphics[width=4cm]{images/angle1.png}
	\end{center}
	\end{figure}

	l'angle $\alpha$ ainsi définit s'écrit: 
	$$ \alpha = (\overrightarrow{x_0},\overrightarrow{x_1}) = (\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{y_1})$$
	
	On peut alors en donnant les valeurs de chacun des paramètres, positionner chaque solide puis l'orienter.
	\section{Relation entre les paramètres et fermetures géométriques}
	
	Si le graphe de liaison de notre système forme une boucle alors les solides ne peuvent pas bouger librement, il existe des façons de bouger pour le système qu'on nomme \textbf{mobilité}. Cela traduit que des relations entre les paramètres existent et qu'en en fixant certains alors il n'existe qu'une unique possibilité pour les autres, l'objectif de cette partie est de pouvoir déterminer les relations entre les solides.
	
	\subsection{Fermeture angulaire}
	
	Les angles donnés peuvent donner la première relation entre les paramètres, en effet il est possible de réaliser des équations en utilisant des résultat similaire à la relation de Chasles si les repères tournent autour du même axe par exemple:
	\begin{figure}[h!]
		
	\begin{center}

%		\parametrageAngulaire{\beta}{\vx{1}}{\vy{1}}{\vz{1}=\vz{2}}{\vx2}{\vy2}
%		\parametrageAngulaire{\gamma}{\vx{0}}{\vy{0}}{\vz{0}=\vz{2}}{\vx2}{\vy2}
\includegraphics[width=13cm]{images/angle2.png}
	\end{center}
	\end{figure}	
	
	$$ \alpha + \beta = \gamma $$
	
	On peut facilement le lire en traçant les trois repères sur la même figure.
	
	
	\subsection{Fermeture géométrique}
	
	Dans le cas ou le graphe de structure présente une boucle, il est possible d'écrite une relation de Chasles avec des points du système faisant une boucle, grâce à cela on obtient une équation vectorielle qu'il est difficile de traiter.
	
	Pour obtenir des équations dites scalaires et utilisables il faut projeter l'équation pour cela il existe deux méthodes qui reviennent à faire la même chose.
	\subsubsection{Décomposition des vecteurs (méthode lente)}
	
	La décomposition de vecteur se fait en disant:
	
	$$ \overrightarrow{x_1} = X.\overrightarrow{x} + Y.\overrightarrow{y} $$
	
	l'objectif est de trouver les valeurs de X et de Y
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=6cm]{images/decomp.png}
			\caption{Décomposition du vecteur $\overrightarrow{x_1}$.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	Le triangle qu'on observe est rectangle, on peut donc utiliser les formules de trigonométrie:
	
	$$ cos(\theta) = \frac{X}{|| \overrightarrow{x_1}||} = X  $$
	$$ sin(\theta) = \frac{Y}{|| \overrightarrow{x_1}||} = Y  $$
	
	On trouve donc une nouvelle écriture de $\overrightarrow{x_1}$:
	
	$$\overrightarrow{x_1} = cos(\theta).\overrightarrow{x} + sin(\theta).\overrightarrow{y}$$
	
	Et on peut recommencer pour tout les vecteurs pour trouver des équations.
	\subsubsection{Produit scalaire (méthode plus rapide)}
	
	Le produit scalaire est une application symétrique bilinéaire prenant en entrée deux vecteurs et donnant en sortie une nombre réel. Il se note $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
	
	Ce qui veut dire:
	$$ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u} = ||\overrightarrow{u}||.||\overrightarrow{v}||.cos((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}))$$
	
	La bilinéarité donne de plus:
	
	$$ (\alpha.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}).\overrightarrow{w} =  \alpha.(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}) + (\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w})$$
	
	Dans la réalité le produit scalaire permet de projeter une équation sur une direction, la valeur d'un produit scalaire de deux vecteurs peut se trouver grâce aux figures géométrales: la projection d'un vecteur d'un vecteur su un autre sonne rapidement le résultat:
	
	\begin{itemize}
		\item la projection d'un vecteur sur un autre perpendiculaire donne 0.
		\item la projection d'une grande longueur d'un vecteur sur un autre donne le cosinus de l'angle entre les vecteurs.
		\item la projection d'une petite longueur d'un vecteur sur un autre donne le sinus de l'angle entre les vecteurs.
	\end{itemize}
	
	Si les vecteurs sont dans le même sens alors le signe est positif et négatif si les vecteurs sont dans des sens contraires.
	
	\subsection{Traitement des équations}
	
	Les méthodes précédentes permettent d'obtenir deux ou trois équations scalaires par fermetures géométriques, mais souvent il y a trop de paramètre et il est nécessaire de combiner les équations pour en trouver une utile.
	Pour supprimer les paramètres il existe plusieurs méthodes à connaitre:
	\begin{itemize}
		\item pour supprimer des angles dans les équations on utilise l'équation trigonométrique $cos(\theta)^2 + sin(\theta)^2 = 1$
		\item pour supprimer les longueurs, on divise les équations en ayant isoler cette longueur afin de trouver rapidement un résultat, cela donne un calcul de tangente. 
	\end{itemize}
	
	En utilisant ces méthodes on obtient une relation entrée sortie entre les paramètres voulues.
	\newpage
	
	\section{Application sur un système}
	
	Afin de s'entrainer sur un cas simple, on étudie le mécanisme d'une scie sauteuse. Une scie sauteuse est un outils de bricolage permettant, grâce au mouvement de translation alternatif d'une lame dentée, de couper différentes planches et plaques.
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=4cm]{images/eclate_scie.jpg}
			\caption{Objet de notre étude.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	
	Voici le plan technique avec les différentes classes d'équivalences cinématiques coloriées.
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=14cm]{images/scie_sauteuse_CEC.png}
			\caption{Vue coloriée de la scie sauteuse.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}[h!]
		\begin{center}
			\includegraphics[width=6cm]{images/points_contact.png}
			\caption{Vue coloriée de la scie sauteuse et position des points de contacts.}
		\end{center}
	\end{figure}
	
	\newpage
	\cadre{pink}{Travail à réaliser}{En analysant les surfaces en contact, réalisez un graphe de liaisons du système (On ne prendra pas en compte la CEC violette).}
	\vspace{6cm}

	\cadre{pink}{Travail à réaliser}{En utilisant le graphe de liaison, réalisez un schéma cinématique du système.}
	\vspace{6cm}
	
	
	On pose maintenant le paramétrage suivant:
	
	\begin{multicols}{2}
		\begin{itemize}
			\item La rotation de la pièce verte par rapport à la pièce sera paramétrée par l'angle $\theta_1 = (\overrightarrow{z_0},\overrightarrow{z_1}) = (\overrightarrow{y_0},\overrightarrow{y_1})$
			\item la position de la bague jaune (2) se caractérise par $\overrightarrow{OA} = R.\overrightarrow{z_1}$
			\item la position du contact entre la bague jaune et la lame rouge : $ \overrightarrow{AB} = r.\overrightarrow{y_0} $
			\item la position de la lame par rapport au bâti se définit par:
			$ \overrightarrow{BC} = \lambda_2.\overrightarrow{y_0} + \lambda_1.\overrightarrow{z_0}$
			\item la géométrie du bâti donne $\overrightarrow{OC} = h.\overrightarrow{y_0}$
		\end{itemize}
	\end{multicols}
	
%	\begin{UPSTIactivite}[4][][][\,][Travail à réaliser ][0]
	\cadre{pink}{Travail à réaliser}{
		\begin{itemize}
			\item Tracer la figure géométrale permettant de définir l'angle $\theta_1$
			\item Écrire la relation de Chasles reliant les vecteurs. $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 
			\item Par la méthode voulue, écrire les deux équations à partir de cette relation de Chasles.
			\item Trouver la relation entre $\theta_1$ et $\lambda_1$.
			\item Trouver la relation entre $\theta_1$ et $\lambda_2$.
			\item Trouver la relation entre $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
		\end{itemize}}
	\newpage
	\vspace{8cm}
	\newpage
	
	
\end{document}