\documentclass[10pt]{article}

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\renewcommand{\module}{CI 3}
\renewcommand{\titredoc}{TD2 - Dérivation vectorielle}

\begin{document}
	\premierepage
\vspace*{0.5cm}

\Exercice

\vspace*{0.5cm}


 On s'intéresse à un camion en phase de déchargement
dont on donne un extrait de cahier des charges fonc
tionnel. Deux vérins commandent le mouvement de la
benne. Dans la suite on s'intéressera à un seul vérin.

\begin{figure}[h!]
	\begin{center}
		\includegraphics[width=14cm]{images/camion_benne.png}
	\end{center}
\end{figure} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|}
	\hline
	\textbf{\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Exigence\\ technique\end{tabular}} & \textbf{Critère} & \textbf{Valeur} \\ \hline
	1.5 & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Vitesse angulaire\\  de la benne\end{tabular} & \textless{}0,5 tr/min \\ \hline
\end{tabular}\end{center}
	
\paragraph{Paramétrage :}	
	
\begin{itemize}
	\item  Soit $R_0 (O,\ve{x_0},\ve{y_0},\ve{z_0})$ un repère lié au châssis \textbf{(0)} du camion benne.
	\item  Soient $R_1 (O,\ve{x_1},\ve{y_1},\ve{z_1})$ et $R_2 (B,\ve{x_2},\ve{y_2},\ve{z_2})$ deux repères liés respectivement aux corps \textbf{(1)} et à la tige \textbf{(2)} d'un des deux vérins hydrauliques. On suppose que le vérin étudié corps \textbf{(1)} + tige \textbf{(2)} se déplace dans le plan $(\ve{x_0},\ve{y_0})$.
	\item Le corps \textbf{(1)} a un mouvement de rotation d'axe $ (O, \ve{z_0})$ par rapport au bâti \textbf{(0)}. On pose $\alpha=(\ve{x_0},\ve{x_1})$.
	\item La tige \textbf{(2)} a un mouvement de translation rectiligne de direction \ve{x_1} par rapport au corps \textbf{(1)}. On
	pose $\ve{OB} = \lambda.\ve{x_1}$.
\end{itemize}	

\paragraph{Caractéristique du vérin:}

\begin{itemize}
	\item débit volumique d'huile injectée dans le vérin $Q = 0,2 l/s$;
	\item diamètre du piston du vérin $D = 61mm$;
\end{itemize}
	
\Question Réaliser la figure de changement de base pour la rotation.
\Question Déterminer l'expression du vecteur taux de rotation.
\Question Que dire des bases $B_1$ et $B_2$? En déduire $\ve{\Omega_{2/1}}$.

\paragraph{Remarque:} Dans le mouvement du solide 1 dans son mouvement par rapport à 0, $\lambda$ ne varie pas, on calcul la vitesse à un instant pour une valeur de $\lambda$ donnée.

\Question Déterminez les vecteurs vitesses \ve{V_{B\in2/1}}, \ve{V_{B\in1/0}} et \ve{V_{B\in2/0}} 
\Question  Exprimer la vitesse de déploiement$\dot{\lambda}$ du vérin en fonction du débit $Q$ dans le vérin et du diamètre du piston $D$.

 La vitesse de rotation de la benne $\dot{\theta}$ est reliée à $\ve{V_{B\in2/0}}$ par la relation $ ||\ve{V_{B\in2/0}}|| = L.\dot{\theta} $ On donne $L = 2 m$, $\lambda =3 m$ et $\dot{\alpha} =0.2tr/min$

\Question Calculez la vitesse de rotation de la benne $\dot{\theta}$ et conclure quant au respect du cahier des charges.
\Question Déterminez le vecteur accélération $\ve{\Gamma_{B\in 2/0}}$.
	
	
\newpage
\Exercice
\resetNumQuestion

 On s'intéresse à une Échelle Pivotante Automatique à commande Séquentielle. Ce système conçu et commercialisé par la société CAMIVA est monté sur le châssis d'un camion de pompiers et permet de déplacer une plate-forme pouvant recevoir deux personnes et un brancard (charge maxi 270 kg) le plus rapidement possible et en toute sécurité.
 
 \begin{figure}[h!]
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=8cm]{images/EPAS.png}
 	\end{center}
 \end{figure} 
 
 
 Ce système est constitué de cinq solides :

\begin{itemize}
	\item Le châssis \textbf{(0)}, de repère associé $R_0 (O, \ve{x_0}, \ve{y_0}, \ve{z_0})$, fixe par rapport au sol tel que l'axe $(O,\vec{y_0})$ soit dirigé suivant la verticale ascendante.
	\item La tourelle \textbf{(1)}, de repère associé $R1 (O, \ve{x_1}, \ve{y_1} \ve{z_1})$, en mouvement de rotation (non étudié ici)
	d'axe $(O,\ve{y_0})$ par rapport à \textbf{(0)}.
	\item  Le berceau \textbf{(2)}, de repère associé $R_2(A, \ve{x_2}, \ve{y_2}, \ve{z_2})$, en mouvement de rotation d'axe $(A,\ve{z_1})$
	par rapport à la tourelle \textbf{(1)} tel que $\ve{OA} = - b.\ve{x_1} +a.\ve{y_1}$ (a et b constants),$\ve{AC} = c.\ve{x_2}$ (c constant) et $(\ve{x_1} \ve{x_2}) = \theta $.
	\item L'échelle \textbf{(3)}, de repère associé $R_3 (D,\ve{x_3}, \ve{y_3}, \ve{z_3})$ , en mouvement de translation rectiligne de direction $\ve{x_2}$ par rapport au berceau \textbf{(2)} tel que $\ve{CD} = \lambda(t) \ve{x_2}$. 
	\item Le vérin de dressage \textbf{(4 + 5)} (non étudié ici).
\end{itemize}

Pour des raisons de confort et de sécurité, il est nécessaire que pendant la phase de dressage* de l'échelle, la norme de l'accélération subie par une personne située dans la nacelle ne dépasse pas un niveau défini dans le CdCF.	
	
 *Phase de dressage : les vérins de dressage font pivoter le berceau \textbf{2} pendant que le parc échelle \textbf{3} se déploie. Pendant cette phase, le système d'orientation de la tourelle \textbf{1} est inactif $( R_0 (O,\ve{x_0} ,\ve{y_0} ,\ve{z_0})= R_1 (O,\ve{x_1} ,\ve{y_1} ,\ve{z_1}))$.	


 Le système est représenté sous forme de schéma cinématique, en fin de document :
 
 \paragraph{Objectif:}  déterminer, dans le but de valider le critère du Cahier des Charges Fonctionnel, le vecteur accélération du point D appartenant à l'échelle dans son mouvement par rapport au sol.
 
 \Question  Que dire des bases des repères $R_2(A,\ve{x_2} ,\ve{y_2} ,\ve{z_2})$ et $R_3(D,\ve{x_3} ,\ve{y_3} ,\ve{z_3})$? En déduire \ve{\Omega_{3/2}}.
 \Question  Réaliser la figure de changement de base correspondant au mouvement entre 2 et 1.
 \Question Indiquer sous cette figure l'expression du vecteur rotation correspondant.
 \Question En déduire l'expression \ve{\Omega_{3/0}}.
 \Question Déterminer le vecteur vitesse, \ve{V_{D\in3/0}}
 \Question Déterminer le vecteur accélération, \ve{\Gamma_{D\in3/0}}
 
 \newpage
 
  \begin{figure}[h!]
 	\begin{center}
 		\includegraphics[width=13cm]{images/cinematique_EPAS.png}
 	\end{center}
 \end{figure} 

\end{document}