\documentclass[10pt]{article}

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\renewcommand{\titredoc}{Support de cours}


\begin{document}
	\premierepage

\section{Calcul d'action mécanique}

Un barrage hydraulique est un édifice permettant de retenir l'eau d'un écoulement, ces grands édifices ne doivent en aucun cas souffrir d'une défaillance sous peine de mettre en danger de nombreuses personnes.

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=9cm]{images/photo_barrage.jpg}
\end{figure}

On désire donc pouvoir prédire l'effort qu'aura l'eau à son niveau maximal.\\
Voici un schéma montrant la répartition des efforts sur la hauteur du barrage:

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=9cm]{images/barrage.png}
\end{figure}

On prendra:
\begin{itemize}
	\item $\ve{OM} = y.\vec{y} + z.\ve{z}$
	\item $\ve{dF_{eau}(M)} = -(L-y).K.dS.\ve{x}$ 
	\item La largeur du barrage est l
	\item La répartition de la pression de l'eau est homogène sur toute l'épaisseur du barrage 
\end{itemize}

\Question Calculez le torseur de l'effort de l'eau sur le barrage et l'exprimer au point O.

{\color{red}

Par définition :

$$ \tT{eau}{barrage} = \tLigne{\ve{R_{eau\rightarrow barrage}} = \displaystyle\int\limits_{Surface} \ve{dF_{eau}(M)}}{\ve{M_{O,eau\rightarrow barrage}} = \displaystyle\int\limits_{Surface}  \ve{OM} \land \ve{dF_{eau}(M)}}{O} = \tLigne{\displaystyle\int\limits_{Surface} -(L-y).K.dS.\ve{x}}{\displaystyle\int\limits_{Surface}  (y.\vec{y} + z.\ve{z}) \land (-(L-y).K.dS.\ve{x})}{O}$$

On est en coordonné cartésienne :

$$ \ve{OM} = y.\vec{y} + z.\ve{z} $$

Avec:
\begin{itemize}
	\item $y\in [0,L]$
	\item $ z \in [-l/2,l/2]$
\end{itemize}

En faisant varier y et z, on décrit une surface dS et on peut alors écrire:

$$ dS = dy.dz $$

On peut alors calculer le torseur (en faisant bien attention aux bornes des intégrales):

$$ \ve{R_{eau\rightarrow barrage}} = \displaystyle\int\limits_{Surface} \ve{dF_{eau}(M)} = \displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\displaystyle\int_{0}^{L} -(L-y).K.\ve{x}.dy.dz $$
$$= -K.\ve{x}\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\displaystyle\int_{0}^{L} (L-y).dy.dz = -K.\ve{x}\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2} \left[(L.y-\frac{y^2}{2})\right]^{y=L}_{y=0}.dz = -K.\ve{x}\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\frac{L^2}{2}.dz $$

$$ = -K.\ve{x}\frac{L^2}{2}\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}.dz = -K.\ve{x}\frac{L^2}{2}.\left[z\right]^{z=l/2}_{z=-l/2} = -K.\frac{L^2}{2}.l.\ve{x}$$

Le calcul du moment se fait ensuite :

$$\ve{M_{O,eau\rightarrow barrage}} = \displaystyle\int\limits_{Surface}  \ve{OM} \land \ve{dF_{eau}(M)} = \displaystyle\int\limits_{Surface}  (y.\vec{y} + z.\ve{z}) \land (-(L-y).K.dS.\ve{x})$$

$$ = \displaystyle\int\limits_{Surface} ((L-y).y.K.\ve{z}dS) + \displaystyle\int\limits_{Surface} (-(L-y).z.K.\ve{y}dS) $$
$$= \displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\displaystyle\int_{0}^{L}(L-y).y.K.\ve{z}dy.dz - \displaystyle\int_{0}^{L}\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}(L-y).z.K.\ve{y}dz.dy  $$

$$=K.\ve{z}.\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\displaystyle\int_{0}^{L}(L.y-y^2).dy.dz - K.\ve{y}. \displaystyle\int_{0}^{L}(L-y)\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}z.dz.dy  $$

$$ = K.\ve{z}.\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\left[\frac{L.y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]^{y=L}_{y=0}.dz - K.\ve{y}. \displaystyle\int_{0}^{L}(L-y).\left[\frac{z^2}{2}\right]^{z=l/2}_{z=-l/2}.dy $$

$$ = K.\ve{z}.\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}\frac{L^3}{6}.dz - K.\ve{y}. \displaystyle\int_{0}^{L}(L-y).0.dy $$

$$ = K.\frac{L^3}{6}.\ve{z}.\displaystyle\int_{-l/2}^{l/2}.dz - \ve{0} = K.\frac{L^3}{6}.l.\ve{z}$$

Cela donne :

$$ \tT{eau}{barrage} = \tLigne{-K.\frac{L^2}{2}.l.\ve{x}}{K.\frac{L^3}{6}.l.\ve{z}}{O} $$
}


\newpage

\section{Calcul de volume et de centre de gravité}

On souhaite motorisé l'ouverture de la porte d'un bâtiment, le but est de prévoir le poids théorique de cette porte.\\

Voici la géométrie de la porte:

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=9cm]{images/porte.png}
\end{figure}

\Question Calculez le poids de la porte, sachant que sa masse volumique $\rho$ est homogène.

{\color{red}

Par définition : 

$$ \ve{P} = \displaystyle\int\limits_{Volume}-\rho.g.\ve{y}.dV $$

Le vecteur position est défini par :

$$ \ve{OM} = x.\ve{x} + y.\ve{y} + z.\ve{z} $$

Avec :
\begin{itemize}
	\item $x \in [0,L]$
	\item $y \in [0,H]$
	\item $z \in [-e,0]$
\end{itemize}

En faisant varier x, y et z on décrit un petit volume:

$$ dS = dx.dy.dz $$

On trouve alors :

$$ \ve{P} = \displaystyle\int\limits_{Volume}-\rho.g.\ve{y}.dV = \displaystyle\int_{-e}^{0}\displaystyle\int_{0}^{H}\displaystyle\int_{0}^{L}-\rho.g.\ve{y}.dx.dy.dz = -\rho.g.\ve{y}.\displaystyle\int_{-e}^{0}\displaystyle\int_{0}^{H}\displaystyle\int_{0}^{L}.dx.dy.dz$$
$$ = -\rho.g.\ve{y}.\displaystyle\int_{-e}^{0}\displaystyle\int_{0}^{H}[x]^{x=L}_{x=0}.dy.dz =-\rho.g.L.\ve{y}.\displaystyle\int_{-e}^{0}\displaystyle\int_{0}^{H}.dy.dz = -\rho.g.L.\ve{y}.\displaystyle\int_{-e}^{0}[y]^{y=H}_{y=0}.dz  $$

$$=-\rho.g.L.H.\ve{y}.\displaystyle\int_{-e}^{0}.dz = -\rho.g.L.H.\ve{y}.[z]^{z=0}_{z=-e} = -\rho.g.L.H.e.\ve{y}  $$

$$\ve{P} = -\rho.g.L.H.e.\ve{y}$$
}


\end{document}