\documentclass[10pt]{article}

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\renewcommand{\module}{CI 9}
\renewcommand{\titredoc}{TD 5 - Convoyeur à ventouses}

\begin{document}
	\premierepage

\section{Mise en situation}

La société Sonaréma-Fondex assemble, conditionne et diffuse des réchauds à gaz portables de grande puissance. Ces réchauds sont conditionnés et vendus en cartons. 
La société possède pour le conditionnement de cartons un système automatisé commercialisé sous l'acronyme MLPS pour Multi Level Packaging System. 

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=12cm]{images/Presentation.png}
\end{figure}


Le système permet d'agencer les cartons sur la palette. Ses principaux éléments constitutifs sont: 
\begin{itemize}
	\item un \textbf{tapis d'amenée} permet d’acheminer les cartons au poste de préhension.
	\item une \textbf{unité en U}, composée d'un axe numérique et d’un préhenseur à ventouses, permet la saisie, l'élévation, la translation, la descente et la dépose d'un carton à une position précise sur la palette.
	\item une \textbf{table élévatrice} permet de descendre la palette de la hauteur d'un carton quand une couche est terminée.  
	\item un \textbf{plateau indexeur} permet de faire tourner la palette par pas de 90° dans le sens horaire et en fonction des besoins du cycle. 
\end{itemize}

\newpage

\section{Description fonctionnelle}
\subsection{Diagrammes des exigences}
Le diagramme des exigences modélise les exigences que devra satisfaire le système MLPS en précisant les besoins exprimés dans le cahier des charges et les solutions techniques mises en œuvre sur le système. Seules les exigences techniques sont présentées sur le diagramme. 

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=12cm]{images/req.png}
\end{figure}

\subsection{Diagramme de définition des blocs}

Le diagramme de définition de blocs décrit les différentes entités constitutives du système MLPS. 

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=12cm]{images/bdd.png}
\end{figure}

\subsection{Diagramme de blocs interne}
Le diagramme de blocs interne est rattaché au bloc "axe numérique". Il explicite ses éléments constitutifs et ses liens avec l'extérieur. 

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=12cm]{images/ibd.png}
\end{figure}
\newpage
\section{Validation des ventouses du préhenseur}

Il faut s'assurer qu'il n'y ait pas glissement entre le carton et les ventouses. En effet, si le carton glisse par rapport aux ventouses il 
risque soit d'être lâché soit de se déplacer par rapport aux ventouses et sera mal positionné sur la palette. 
Le paramètre permettant d'éviter ce glissement est la valeur de l'accélération. 
Nous devons à présent déterminer l'accélération maximale admissible par l'unité en U pour qu'il n'y ait pas glissement entre le carton 
et les ventouses. 

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=9cm]{images/schema.png}
\end{figure}

\textbf{Notations :}
\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
		\item le repère $(O,\ve{x},\ve{y},\ve{z})$ lié au bâti est supposé galiléen.
		\item l'ensemble préhenseur + carton est en translation rectiligne d'axe $\ve{x}$
		\item $\ve{V_{G,carton/0}}= V(t).\ve{x}$
		\item $\ve{\Gamma_{G,carton/0}}= a(t).\ve{x}$
		\item la masse du carton est noté $m$.
		\item le centre d'inertie est noté $G$.
		\item le coefficient d'adhérence carton/ventouse est noté $\mu$.
	\end{itemize}
\end{multicols}

\textbf{Données}
\begin{multicols}{3}
	\begin{itemize}
		\item $m=8kg$
		\item $\mu =0.4$
		\item $g = 10m.s^{-2}$
		\item $\ve{GM} = -0.1.\ve{x} + 0.07.\ve{z}$ en mètre
		\item $\ve{GN} = 0.1.\ve{x} + 0.07.\ve{z}$ en mètre
		
	\end{itemize}
\end{multicols}

\textbf{Hypothèses :}

\begin{itemize}
	\item le plan $(\ve{x},\ve{z})$ est plan de symétrie pour la géométrie et les efforts.
	\item en M, la ventouse de gauche exerce sur le carton une action mécanique modélisable par un glisseur: $$ \tT{ventouse^M}{carton} = \tCol{X_M}{0}{Z_M}{0}{0}{0}{M}{R}$$
	\item en N, la ventouse de gauche exerce sur le carton une action mécanique modélisable par un glisseur: $$ \tT{ventouse^N}{carton} = \tCol{X_N}{0}{Z_N}{0}{0}{0}{N}{R}$$
	\item On trouvera en Annexe les caractéristiques des ventouses. Les ventouses utilisées sont des ventouses SAPELEM D=75 en caoutchouc naturel.
	\item Le graphe des vitesses de déplacement du préhenseur est le suivant :
\end{itemize}

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=9cm]{images/graphe.png}
\end{figure}

\Question À la limite du glissement, donner la relation entre $X_M$ et $Z_M$ et entre $X_N$ et $Z_N$.

{\color{red}

A la limite du glissement :

$$ \frac{|X_N|}{|Z_N|}<\mu $$
$$ \frac{|X_M|}{|Z_M|}<\mu $$

Or les ventouse tire le carton vers le haut et accélère le carton vers la droite:

$$ \frac{X_N}{Z_N}<\mu $$
$$ \frac{X_M}{Z_M}<\mu $$


}

\Question À la limite du glissement, appliquer le principe fondamental de la dynamique au carton et en déduire l'accélération maximale admissible.

{\color{red}

On détermine le torseur dynamique du carton dans son mouvement par rapport à 0, en prenant en compte que le carton est en mouvement de translation:

$$ \tD{carton}{0} = \tLigne{m.\ve{\Gamma_{G,carton/0}}}{\ve{0}}{G} = \tLigne{m.a.\ve{x}}{\ve{0}}{G} = \tLigne{m.a.\ve{x}}{-0,07.m.a.\ve{y}}{M} $$

On isole le carton :

BAME:

\begin{itemize}
	\item Pesanteur sur le carton : $\tT{pes}{carton} = \tLigne{-m.g.\ve{z}}{\ve{0}}{G} = \tLigne{-m.g.\ve{z}}{0,1.m.g.\ve{y}}{M} $
	\item Action de la ventouse de gauche : $\tT{ventouse^M}{carton} = \tLigne{X_M.\ve{x} + Z_M.\ve{z}}{\ve{0}}{M}$
	\item Action de la ventouse de droite : $ \tT{ventouse^N}{carton} = \tLigne{X_N.\ve{x} + Z_N.\ve{z}}{\ve{0}}{N} = \tLigne{X_N.\ve{x} + Z_N.\ve{z}}{-0,2.Z_N.\ve{y}}{M} $
\end{itemize}

Le PFD donne :

$$ \tT{pes}{carton} + \tT{ventouse^M}{carton} + \tT{ventouse^N}{carton} = \tD{carton}{0} $$


On obtient les deux équations vectorielles:

$$ \left\{  
\begin{matrix}
	-m.g.\ve{z} + X_M.\ve{x} + Z_M.\ve{z} + X_N.\ve{x} + Z_N.\ve{z}& = & m.a.\ve{x} \\
	0,1.m.g.\ve{y} + \ve{0} - 0,2.Z_N.\ve{y}& = & -0,07.m.a.\ve{y}
\end{matrix}
\right. $$

Ce qui donne en projection :

$$ \left\{  
\begin{matrix}
	X_M + X_N & = & m.a \\
	Z_M + Z_N & = & m.g \\
	0,1.m.g - 0,2.Z_N & = & -0,07.m.a
\end{matrix}
\right. $$

En multipliant par $\mu$ la deuxième équation on obtient:

$$ \mu.Z_m + \mu.Z_N =m.\mu.g $$

A l'aide des équations de la limite de glissement on obtient :

$$X_M + X_N = m.a = m.\mu.g$$

et on en déduit :

$$ a = \mu.g$$

l'accélération limite pour assurer l'adhérence.

La troisième équation donne :

$$ 	0,1.m.g - 0,2.Z_N =  -0,07.m.a $$

Donc:

$$ 	0,1.m.g +0,07.m.a =  0,2.Z_N \Rightarrow Z_N = \frac{(0.1+0.07.\mu).m.g}{0.2}$$

Et avec la deuxième équation on obtient:

$$ Z_M = \frac{(0.1-0.07.\mu).m.g}{0.2} $$

Les équations d'adhérence permettent d'obtenir:

$$ \left\{  
\begin{matrix}
	X_N & = & \mu.\frac{(0.1+0.07.\mu).m.g}{0.2} \\
	X_M & = & \mu.\frac{(0.1-0.07.\mu).m.g}{0.2} \\
	Z_N & = & \frac{(0.1+0.07.\mu).m.g}{0.2} \\
	Z_M & = & \frac{(0.1-0.07.\mu).m.g}{0.2} \\
\end{matrix}
\right. $$

}
 
\Question À la limite du glissement, déterminer les efforts encaissés par les ventouses.
\Question Les ventouses sont-elles capables d'encaisser les efforts qui leur sont appliqués? Justifier.

{\color{red}

Les équations d'adhérence permettent d'obtenir:

$$ \left\{  
\begin{matrix}
	X_N & = & \mu.\frac{(0.1+0.07.\mu).m.g}{0.2} = 20.48N\\
	X_M & = & \mu.\frac{(0.1-0.07.\mu).m.g}{0.2} = 11.52N\\
	Z_N & = & \frac{(0.1+0.07.\mu).m.g}{0.2} = 51.2N\\
	Z_M & = & \frac{(0.1-0.07.\mu).m.g}{0.2} = 28.8N\\
\end{matrix}
\right. $$

La ventouse en N est la plus sollicité:

$$ ||\ve{R_{ventouse^N\rightarrow carton }}|| = \sqrt{X_N^2 + Z_N^2} = 55.14N$$

La ventouse peut tenir 60N (6kg) elle est bien dimensionnée.

}

Les ventouses utilisées imposent une accélération linéaire limite \textbf{$a = 4m.s^{-2}$}.\\
Le respect du cahier des charges (cadence de production) impose que la relation entre la vitesse $V$ et l'accélération $a$ soit : 

$$ 5.525 = 7.5\times V - \frac{5.V^2}{a} $$  

\Question Calculez les vitesses  solutions de l'équation précédente.
\Question Pour chaque solution, calculer la durée $\Delta t_{acc}$ et montrer qu'une seule solution est compatible avec la condition $\Delta t_{acc} < 0,75 s$. 

\newpage

\centering
\textbf{\Large Annexe :}

\begin{figure}[!h]	
	\centering	
	\includegraphics[width=12cm]{images/ann_1.png}
	\includegraphics[width=12cm]{images/ann_2.png}
	\includegraphics[width=13cm]{images/ann_3.png}
	
\end{figure}


\end{document}